Question

椭圆

X2

25

+

Y2

9

=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，

9

5

)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证x₁+x₂=8；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为T，求直线的斜率．

Answer 1

分析：（1）由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

a2 c -x1

=

c

a

，|AF|=a-ex₁=5-

4

5

x₁．同理|CF|=5-

4

5

x₂．由此能够证明即x₁+x₂=8．
（2）因为线段AC的中点为（4，

y1+y2

2

），所以它的垂直平分线方程为y-

y1+y2

2

=

x1-x2

y1-y2

（x-4），由点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

y 2 1 - y 2 2

2(x1-x2)

，再由点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，知y₂²=

9

25

（25-x₂²），由此能求出直线的斜率．

解答：（1）证明：由椭圆方程知a=5，b=3，c=4．
由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

a2 c -x1

=

c

a

，
∴|AF|=a-ex₁=5-

4

5

x₁．　　同理|CF|=5-

4

5

x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=

9

5

，
∴（5-

4

5

x₁）+（5-

4

5

x₂）=

18

5

，即x₁+x₂=8．
（2）解：因为线段AC的中点为（4，

y1+y2

2

），所以它的垂直平分线方程为
y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-4）
又∵点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

y 2 1 - y 2 2

2(x1-x2)

，
又∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，
∴y₂²=

9

25

（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-

9

25

（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
将此式代入①，并利用x₁+x₂=8的结论得x₀-4=-

36

25

，K_BT=

9 5 -0

4-x0

=

5

4

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．