Question

已知函数f（x）=loga

x-2

x+2

的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：2＜α＜4＜β；
（3）若函数g（x）=log_aa（x-1）-loga

x-2

x+2

，x∈[α，β]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x）在[α，β]上为减函数函数f（x）=loga

x-2

x+2

的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，我们可得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α＞2，同理β＞2，故关于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）内有二不等实根α、β．由此构造关于a的不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围；
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），我们易得Φ（2）•Φ（4）＜0，进而根据零点存在定理，结合（1）中的结论，得到答案；
（3）由已知中函数g（x）=log_aa（x-1）-loga

x-2

x+2

，x∈[α，β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M=g（4）=log_a9+1，结合（1）中a的取值范围，即可得到答案．

解答：解．（1）按题意，得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)．
∴

α-2 α+2 ＞0 α-1＞0

即　α＞2．                                      （3分）
又loga

β-2

β+2

=fmin(x)=logaa(β-1)
∴关于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)．
在（2，+∞）内有二不等实根x=α、β．
?关于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β．
?

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

?0＜a＜

1

9

．　　
故　0＜a＜

1

9

．             （6分）
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），
则Φ（2）•Φ（4）=4a•（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．                                                    （10分）
（3）∵g(x)=loga

(x-1)(x+2)

x-2

+1，
g′(x)=

1

lna

•

x-2

(x-1)(x+2)

•

(2x+1)(x-2)-(x2+x-2)

(x-2)2

=

1

lna

•

x(x-4)

(x+2)(x-1)(x-2)

．
∵lna＜0，
∴当x∈（α，4）时，g'（x）＞0；
当x∈（4，β）是g'（x）＜0．
又g（x）在[α，β]上连接，
∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减．
故　M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．                                    （12分）
∵0＜a＜

1

9

，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．　
若M≥1，则9a=a^M．
∴9=a^M-1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．                                   （15分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中（1）的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）内有二不等实根α、β．并由此构造关于a的不等式组，（2）的关键是构造函数Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），将问题转化为函数零点判断问题，（3）的关键是利用导数法，判断出M=g（4）．