Question

已知函数f(x)=x+

m

x

+m（x∈[1，+∞）且m＜1）．
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）设函数g(x)=x•f(x)+2x+

3

2

，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设1≤x₁＜x₂＜+∞，f(x1)-f(x2)=(x1+

m

x1

+m)-(x2+

m

x2

+m)=（x₁-x₂）（1-

m

x1x2

），由1≤x₁＜x₂＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）g(x)=x(x+

m

x

+x)+2x+

3

2

=x2+(m+2)x+m+

3

2

，对称轴x=-

m+2

2

，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：设1≤x₁＜x₂＜+∞，
f(x1)-f(x2)=(x1+

m

x1

+m)-(x2+

m

x2

+m)=（x₁-x₂）（1-

m

x1x2

）
∵1≤x₁＜x₂＜+∞，m＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-

m

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）解：g(x)=x(x+

m

x

+x)+2x+

3

2

=x2+(m+2)x+m+

3

2

对称轴x=-

m+2

2

，定义域x∈[2，5]
①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，

- m+2 2 ≤2 g(2)＞0

⇒

m≥-6 m＞- 19 6

⇒m＞-

19

6

②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，

- m+2 2 ≥5 g(5)＞0

⇒

m≤-12 m＞- 73 12

⇒无解
综上所述1＞m＞-

19

6

点评：本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．