Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a＜0时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）当a=0时，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的整数k的所有取值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函数f（x）=（ax²+x）e^x，已知e^x＞0，不等式f（x）＞0，转化为，根据a＜0，求出不等式的解集；
（Ⅱ）因为a=0时，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解，等价于方程有解，利用导数研究其单调性利用零点定理判断其根的个数；
解答：解：（Ⅰ）因为e^x＞0，所以f（x）＞0，即ax²+x＞0．
又因为a＜0，所以不等式可化为
所以不等式f（x）＞0的解集为（0，）．     …（4分）
（Ⅱ）当a=0时，方程f（x）=x+2，即xe^x=x+2，由于e^x＞0，
所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于
令，因为对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以函数h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调递增函数，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，，h（-2）=e^-2＞0，
所以函数h（x）在区间[1，2]和[-3，-2]上分别有一个零点，
即方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
故k=1或k=-3．    …（12分）
点评：此题主要考查一元二次不等式的解法以及利用导数研究函数的单调性问题，解题过程中用到了转化的思想，是一道中档题；