Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，2cosx），$\overrightarrow{b}$=（$2\sqrt{3}$cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，若∠A满足$f（A-\frac{π}{6}）=1$，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行数量积的坐标运算，用上二倍角的正弦、余弦公式即可求得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，从而可得到f（x）的周期为π，解$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$+2kπ即可得到其单调增区间；
（Ⅱ）根据条件容易求出A=$\frac{π}{2}$，可设角A，B，C的对边长度分别为a，b，c，则有：$\frac{1}{2}bc=8$，由基本不等式即可求b+c$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$的最小值，从而求出△ABC周长的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x-1$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$；
∴函数f（x）的最小正周期为π；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$；
∴函数f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]，（k∈Z）$；
（Ⅱ）由$f（A-\frac{π}{6}）=1$得$2sin（2A-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}）-1=1$，即$sin（2A-\frac{π}{2}）=1$；
因为A为三角形的内角，所以：
$2A-\frac{π}{2}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{2}$；
∴a²=b²+c²，$\frac{1}{2}bc=8，bc=16$；
∴$b+c≥2\sqrt{bc}=8$，$a=\sqrt{{b^2}+{c^2}}≥\sqrt{2bc}=4\sqrt{2}$；
∴$a+b+c≥8+4\sqrt{2}$，当b=c=4时取“=”；
所以△ABC周长的最小值为$8+4\sqrt{2}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，以及三角形内角的范围，已知三角函数值求角，直角三角形边的关系，以及基本不等式用于求最小值．