Question

9．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f（x+$\frac{3}{2}$）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是a＜-1．

Answer 1

分析 首先，根据f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），得到f（x）是周期为3的函数，然后，得到f（1）=-a，再结合f（1）＞1，得到答案．

解答 解：∵f（x）+f（x+$\frac{3}{2}$）=0，
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+3）=f（x），
∴f（x）是周期为3的函数，
∵f（2）=f（3-1）=f（-1）=-f（1）=a
∴f（1）=-a
又∵f（1）＞1，
∴-a＞1，
∴a＜-1
故答案为a＜-1．

点评 本题综合考查了奇函数的性质、周期函数、对数函数的单调性等知识，属于中档题．注意分类讨论思想在解题中的灵活运用．