Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当a=l时，求f（x）的极小值；
（3）求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a，∴f′（x）=3ax² +2bx+c．
由题意可得 ，即 ，解得 ．
（2）当a=l时，b=2，c=1，函数f（x）=x³ +2x² +x-3，
令f′（x）=3x² +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=-1 x=-．
在（-∞，-1）、（-，+∞）上，f′（x）＜0，在（-1，-）上f′（x）＞0，
故当 x=-时，函数f（x）有极小值为f（-）=．
（3）由（1）得f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a=3a（x+1）（x-），
令f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=，
∴要使f（x）极大值为f（-1）=2，
则 ，或 ．
解得 a＞．
分析：（1）求出函数的导函数，由已知在x=-1处f（x）取得极大值2，代入可得方程组进一步得到a，b，c的关系．
（2）当a=l时，令f′（x）=0，可得x=-1 x=-．根据f′（x）的符号可得当 x=-时，函数f（x）有极小值为f（-）．
（3）在（1）的基础上得到函数f（x）的导数f^′（x）=3ax²+2（a+1）x+2-a，由已知要使函数f（x）有极大值需要对二次项系数a和极值点进行讨论，易得结论．
点评：本题考查了函数的导数，导数的几何意义，以及利用导数解答函数的极值问题，考查了二次函数的性质，综合考查了函数的零点以及分类讨论的数学思想，属于基础题．