Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}，其中a≠1
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，解一元二次不等式求的A，解分式不等式求的B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．
（2）当3a＞2、当3a＜2时、当3a=2时三种情况，分别根据B⊆A求出a的范围，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）当a=2时，集合A={x|（x-2）（x-7）＜0}={x|2＜x＜7}，
B={x|

x-4

x-5

＜0}={x|4＜x＜5}，
∴A∩B={x|2＜x＜7}∩{x|4＜x＜5}={x|4＜x＜5}．
（2）由于a≠1，当3a+1＞2时，集合A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），
再由B⊆A可得 

3a＞2 2a≥2 3a+1 ≥  a2+1 a≠1

，解得 1＜a≤3．
当3a+1＜2时，集合A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），
由B⊆A可得

3a+1 ＜2 2a≥3a+1 2 ≥  a2+1 a≠1

，解得 a=-1．
当3a=2时，A=∅，不满足条件．
综上可得，实数a的取值范围 {a|1＜a≤3，或a=-1}．

点评：本题主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，集合中参数的取值问题，属于中档题．