Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）过点E作截面EFH∥平面A₁CD，分别交CB于F，A₁B于H，求截面EFH的面积；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60的角？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明DE⊥平面A₁CD，可得A₁C⊥DE，利用A₁C⊥CD，CD∩DE=D，即可证明A₁C⊥平面BCDE；
（2）过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A₁C交A₁B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A₁CD，从而可求截面EFH的面积；
（3）假设线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60°的角，建立坐标系，利用向量知识，结合向量的夹角公式，即可求出结论．
解答：（1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD．
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE．
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE…（4分）
（2）解：过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A₁C交A₁B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A₁CD．
因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=．
∵A₁C⊥平面BCDE，FH∥A₁C，
∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，
∴．…（8分）
（3）解：假设线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60°的角．
设P点坐标为（a，0，0），则a∈[0，6]．
如图建系C-xyz，则D（0，1，0），，B（6，0，0），E（4，1，0）．
∴，．
设平面A₁BE法向量为，
则，∴，∴，
设平面A₁DP法向量为，因为，．
则，∴，∴．
则，∴5656a²-96a-141=0，
解得
∵0＜a＜，6∴
所以存在线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60°的角．…（12分）
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．