Question

观察下列等式
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
5³-4³=3×4²+3×4+1
…
分析上面等式的规律，则1²+2²+3²+…+20²=

2870

．

Answer 1

分析：由已知中的等式，分析等式两边各项的变化规律，可得（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1，进而得到21³-20³=3×20²+3×20+1，迭加得21³-1³=3×（1²+2²+3²+…+20²）+3×（1+2+3+…+20）+20，整理可得1²+2²+3²+…+20²值．

解答：解：由已知中等式：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
5³-4³=3×4²+3×4+1
…
21³-20³=3×20²+3×20+1
迭加得
21³-1³=3×（1²+2²+3²+…+20²）+3×（1+2+3+…+20）+20
即21³-1³=（21-1）（21²+21+1）=9260=3×（1²+2²+3²+…+20²）+650
∴1²+2²+3²+…+20²=（9260-650）÷3=2870
故答案为：2870

点评：本题考查的知识点是归纳推理，数列求和，其中根据已知中的等式分析出（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1进而为使用迭加法求数列和创造条件是解答的关键．