Question

已知函数.
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）对一切,恒成立,求实数的取值范围；
（3）当时，试讨论在内的极值点的个数.

Answer 1

(1) ；(2)实数的取值范围为；
(3)当，在内的极值点的个数为1；当时, 在
内的极值点的个数为0.

试题分析：(1)切点的导函数值，等于过这点的切线的斜率，由直线方程的点斜式即得所求.
(2)由题意:,转化成，只需确定的最大值.
设,利用导数研究其最大值.
(3)极值点处的导函数值为零.
问题可转化成研究在内零点的个数.
注意到， ，因此，讨论，时，在内零点的个数，使问题得解.
本题主要考查导数的应用，方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.
试题解析：(1) 由题意知,所以
又，
所以曲线在点的切线方程为         4分
(2)由题意:,即
设,则
当时,；当时,
所以当时，取得最大值
故实数的取值范围为.                       9分
(3) ，， 
①当时, ∵
∴存在使得 
因为开口向上，所以在内,在内
即在内是增函数, 在内是减函数
故时，在内有且只有一个极值点, 且是极大值点.       11分
②当时,因
又因为开口向上
所以在内则在内为减函数，故没有极值点    13分
综上可知：当，在内的极值点的个数为1；当时, 在
内的极值点的个数为0.                       14分