Question

【题目】设函数, 已知曲线y=f(x)

在处的切线与直线垂直。

(1) 求的值；

(2) 若对任意x≥1，都有，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) b＝1(2) (，-－1)∪(－1，1)

【解析】试题分析：（1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得

（2）求出导数，对 讨论，①若 ，则 ；②若

，则 ；③若 三种情况分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．

试题解析：(1)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，又f′(x)＝ln x＋＋1，即ln 1＋b＋1＝2，所以b＝1.

(2) g(x)的定义域为(0，＋∞)，

g′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1).

①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增. 所以，对任意x≥1，都有g(x) ＞的充要条件为g(1) ＞，即－1＞，解得a＜－－1或－1 ＜a≤

②若＜a＜1，则＞1，故当x∈时，g′(x)＜0；当x∈时，g′(x)＞0.f(x)在上单调递减，在上单调递增.

所以，对任意x≥1，都有g(x) ＞的充要条件为g＞.而g＝aln＋＋＞在＜a＜1上恒成立，

所以＜a＜1

③若a＞1，g(x)在[1，＋∞)上递减，不合题意。

综上，a的取值范围是(，－－1)∪(－1，1)