题目内容
【题目】如图，直三棱柱
中，
，
、
、
分别是线段
、
、
的中点，
，
，
在线段
上运动，设
.
（1）证明：
；
（2）是否存在点，使得平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
在
上，且
【解析】
（1）推导出
，
，由线面垂直的判定定理，得到
面
，由此证得
；
（2）以
为坐标原点，分别以
的方向分别为
轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求得存在点P，使得平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
.
（1）在
中，
，得
同理可得
，所以
，
得
，又
，
由线面垂直的判定定理，可得面，
又由
面，所以.
（2）由(Ⅰ)可得
，不妨设
，
，
以为坐标原点，分别以的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则
，
故
设平面的法向量为
所以
，
令
，则
，
，得
，
取平面的一个法向量为
，
假设存在点满足题意，
则
，
化简得
，解得
或
，
又由
，所以，
综上，存在点，使得平面与平面的夹角为.
【题目】为增强学生法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表.
分数段 |
|
|
|
|
|
人数 | 5 | 15 | 15 | 12 |
|
（Ⅰ）求频数分布表中的
的值，并估计这50名学生竞赛成绩的中位数（精确到0.1）；
（Ⅱ）将成绩在
内定义为“合格”，成绩在
内定义为“不合格”.请将列联表补充完整.
合格 | 不合格 | 合计 | |
高一新生 | 12 | ||
非高一新生 | 6 | ||
合计 |
试问：是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关？说明你的理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在该50人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，
.
【题目】新高考，取消文理科，实行“
”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在
称为中青年，年龄在
称为中老年），并把调查结果制成下表：
年龄（岁） |
|
|
|
|
|
|
频数 | 5 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
了解 | 4 | 12 | 6 | 5 | 2 | 1 |
（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
（2）请根据上表完成下面
列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
了解新高考 | 不了解新高考 | 总计 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
总计 |
附：
.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（3）若从年龄在
的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为
，求的分布列以及
.
