Question

（2012•保定一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°，PF=FB，E∈BC，EF∥平面PAC．
（1）试求

BE

EC

的值；
（2）求三棱锥P一ADC的表面积和体积．

Answer 1

分析：（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根据PF=FB，可知BE=EC；
（2）确定三棱锥P一ADC的各个面的面积，即可求得表面积；根据

1

3

×S△ADC×PA可求三棱锥P一ADC的体积．

解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF?平面PBC，EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB，
∴BE=EC，即

BE

EC

=1
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD
∵PA=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°
∴AD=

3

∴S△PAD=

1

2

PA•AD=

3

2

，S△ADC=

1

2

AB•AD=

3

2

∵CD⊥DA，CD⊥AP，DA∩AP=A
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴S△PCD=

1

2

PD•CD=1，S△PCA=

1

2

PA•CA=1
∴三棱锥P一ADC的表面积为2×

3

2

+2×1=2+

3

三棱锥P一ADC的体积为

1

3

×S△ADC×PA =

1

3

×

3

2

×1=

3

6

点评：本题考查线面平行的性质，考查三棱锥的表面积与体积，熟练掌握线面平行的性质是关键．