Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|= 时，求实数t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a-c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=，+=t，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意知a-c=-1；                                …（2分）
又因为b==1，所以a²=2，b²=1．                       …（4分）
故椭圆C的方程为+y²=1．                                  …（5分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．           …（7分）
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²．                 …（9分）
x₁+x₂=，x₁x₂=．
又由|AB|=，得|x₁-x₂|=，即 = …（11分）
可得                                    …（12分）
又由+=t，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），则=，= …（13分）
故，即16k²=t²（1+2k²）．   …（14分）
得，t²=，即t=±．                            …（15分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．