Question

记l₁,l₂,…,l₁₀₀为100条不同的共面直线，若其中编号为4k(k∈N^*)的直线互相平行，编号为4k-3(k∈N^*)的直线都过某一定点A，则这100条直线的交点个数至多为（    ）

A.4 350             B.4 351               C.4 900               D.4 901

Answer 1

解法一：(间接法)100条直线最多有个不同交点，去掉以下两类不满足题意的情况：（1）编号为4k(k∈N^*)的直线有25条，因其互相平行，无公共点，要去掉个交点；（2）编号为4k-3(k∈N^*)的直线有25条，因其交于同一点，只能算一个交点，要去掉-1个交点.综上这100条直线的交点个数至多为--（-1）=4 351，故选答案B.

解法二：（直接法）按交点的不同类型分成编号为4k-3(k∈N^*)的25条直线、编号为4k(k∈N^*)的25条直线其余50条直线分三类：（1）编号为4k-3(k∈N^*)的25条直线、其余50条直线三类：（1）编号为4k-3(k∈N^*)的25条直线都过某一定点A，只能算1个交点；（2）其余50条中任取两条直线得到的交点=1 225个；（3）编号为4k-3(k∈N^*)的25条直线与编号为4k（k∈N^*）的25条直线中各取一条得到的交点有·=625个；（4）编号为4k-3(k∈N^*)的25条直线与其余50条直线中各取一条得到的交点有·=1 250个；（5）编号为4k（k∈N^*）的25条直线与其余50条直线中各取一条得到的交点有·=1 250个.故这100条直线的交点个数至多为：1+1 225+625+1 250+1 250=4 351，故答案选B.

答案：B