Question

已知函数y=

x2

4

的图象为C₁，过定点A（0，1）的直线l与C₁交于B、C两点，过B、C所作C₁的切线分别为l₁、l₂．
（1）求证：l₁⊥l₂
（2）记线段BC中点为M，求M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用导数的几何意义求出直线l₁、l₂的斜率分别为k₁=

x1

2

、k₂=

x2

2

．将直线l方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得x₁x₂=-4，从而k₁k₂=

1

4

x₁x₂=-1，由此即可得到l₁⊥l₂．
（2）设点M（x，y），利用一元二次方程根与系数的关系和线段的中点坐标公式，建立方程组并消去参数可得y=

x2

2

+1，即为线段BC中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）设直线l：y=kx+1，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 y= x2 4

消去y，可得x²-4kx-4=0，由根与系数的关系，得x₁x₂=-4．
对函数y=

x2

4

求导数，得y′=

x

2

，
∴直线l₁的斜率为k₁=

x1

2

，直线l₂的斜率为k₂=

x2

2

∵x₁x₂=-4，∴k₁k₂=

1

4

x₁x₂=-1，由此可得l₁⊥l₂．
（2）设点M（x，y），可得
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

=

1

8

（x12+x22），
∵x²-4kx-4=0，由根与系数的关系得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴x=2k，y=

1

8

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=

1

8

（16k²+8），
消去k，可得y=

1

8

（4x²+8），化简得y=

x2

2

+1．
综上所述，得线段BC中点M的轨迹方程为y=

x2

2

+1．

点评：本题给出抛物线的两条切线互相垂直，求切点弦中点M的轨迹方程．着重考查了导数的几何意义、一元二次方程根与系数的关系、抛物线的几何性质和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．