Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A-DE-B的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，结合正方形的性质及线面垂直的性质，我们可得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设=λ，根据PC⊥平面ADE，我们根据直线PC的方向向量与平面ADE法向量垂直，数量积为0，可以构造一个关于λ的方程，进而得到E点的位置，求出满足条件的平面ADE与平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出此时二面角A-DE-B的大小．
解答：解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
∵PD=AD=1
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
假设在线段PB上存在一点E使得PC⊥平面ADE
设=λ
则E（，，）
又∵=（0，1，-1），且⊥
∴•=0，
解得：λ=1，此进E为PD的中点，
又∵PC⊥AD
∴当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE
∵此时平面ADE的法向量为=（0，1，-1），
由（I）知平面BDE的法向量为=（-1，1，0）
则cos＜，＞==
∴＜，＞=60°
故此时二面角的大小为60°
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理，（2）的关键是建立空间坐标系，将空间中直线与平面的垂直关系及二面角问题，转化为向量夹角问题．