Question

1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos²$\frac{A}{2}$-cos2（B+C）=$\frac{7}{2}$，若a=2，则△ABC的面积的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先进行化简，利用A+B+C=π求出角A，利用余弦定理和基本不等式即可求解．

解答 解：由4cos²$\frac{A}{2}$-cos2（B+C）=$\frac{7}{2}$
?2（1+cosA）-cos2（π-A）=$\frac{7}{2}$
?2cosA-cos（2π-2A）=$\frac{3}{2}$
?4cos²A-4cosA+1=0，
即（2cosA-1）²=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
故A=$\frac{π}{3}$，则sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由余弦定理$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$可得：$\frac{1}{2}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$
整理：b²+c²=4+bc，
∵bc$≤\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$=$\frac{4+bc}{2}$，
解得：bc≤4，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc=$\sqrt{3}$．
故选；B．

点评 本题考查了三角函数的化简能力，余弦定理与不等式相结合的运用能力，属于中档题．