Question

13．已知正方形ABCD的边长为4，且AB=AE=BF=$\frac{1}{2}$EF，AB∥EF，AD⊥底面AEFB，G是EF的中点．
（1）求证：DE∥平面AGC
（2）求证：AG⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE∥平面AGC，只需推知DE∥GC即可，根据已知条件可以判定四边形DEGC是平行四边形，则易证得DE∥GC；
（2）根据已知条件推知BC⊥AG；由正方形的性质和菱形的判定定理推知四边形AEGB是菱形，则该菱形的对角线相互垂直：AG⊥EB，易证得结论．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，CD=AB，CD∥AB．
∵AB∥EF，
∴CD∥EF，
∴CD∥EG．
又∵AB=$\frac{1}{2}$EF且G是EF的中点，
∴CD=GE，
∴四边形DEGC是平行四边形，
∴DE∥GC．
又∵ED?平面AGC，GC?平面AGC，
∴DE∥平面AGC
（2）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC．
∵AD⊥底面AEFB，
∴BC⊥底面AEFB，
∴AG⊥BC．
又∵AB∥EF，AB=$\frac{1}{2}$EF且G是EF的中点，
∴AB=EG，
∴四边形AEGB是平行四边形，
又∵AB=AE，
∴平行四边形AEGB是菱形，
∴AG⊥EB．
又∵AG?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AG⊥平面BCE．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定．熟记判定定理即可证得结论，属于基础题．