Question

7．已知抛物线方程为y²=4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线L与抛物线y²=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

Answer 1

分析 设出直线方程代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根

解答 解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
综上可得，k=$\frac{1}{2}$或k=-1或k=0；
（2）由（1）得2k²+k-1＜0且k≠0，∴-1＜k＜$\frac{1}{2}$且k≠0；
（3）由（1）得2k²+k-1＞0，∴k＞$\frac{1}{2}$或k＜-1．

点评 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．