Question

已知数列{a_n}是递增数列，且满足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（1）若{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于（1）中{a_n}，令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意：a₂+a₆=10=a₁+a₇，又a₃•a₅=16，由此得a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根的值，从而求出等差数列的首项和公差，即可得出其通项公式；．
（2）根据（1）先求数列{b_n}的通项公式．即b_n=n•2ⁿ，用错位相减法求数列{b_n} 的前n项和 T_n 的值．
解答：解：（1）根据题意：a₂+a₆=10=a₃+a₅，又a₃•a₅=16，
所以a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根，且a₃＜a₅，
解得a₅=8，a₃=2，所以d=3，
∴a_n=3n-7．…（4分）
（2）
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得
，
所以T_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（12分）
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，用错位相减法求数列前n项和，属于中档题．