题目内容
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2；
（3）正数数列{cn}中，an+1=（cn）n+1（n∈N*），求数列{cn}中的最大项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
| lnnx | ||
|
（3）正数数列{cn}中，an+1=（cn）n+1（n∈N*），求数列{cn}中的最大项．
（1）由已知，对于任意n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
所以2Sn-1=an-1+an-12②
①-②得，2an=an+an2-an-1-an-12，
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n（n∈N*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有bn=
≤
，
∴Tn≤
+
++
＜1+
+
++
=1+(1-
)+(
-
)++(
-
)=2-
＜2
（3）由已知a2=
=2，∴c1=
，a3=
=3，∴c2=
，a4=
=4，∴c3=
，a5=
=5，∴c4=
，
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞
猜想n≥2时，{cn}是递减数列
令f(x)=
则f′(x)=
，
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由an+1=（cn）n+1（n∈N*），知lncn=
∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为c2=
．
所以2Sn-1=an-1+an-12②
①-②得，2an=an+an2-an-1-an-12，
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n（n∈N*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有bn=
| lnnx | ||
|
| 1 |
| n2 |
∴Tn≤
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 1•2 |
| 1 |
| 2•3 |
| 1 |
| (n-1)•n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
（3）由已知a2=
| c | 21 |
| 2 |
| c | 32 |
| 3 | 3 |
| c | 43 |
| 4 | 4 |
| c | 54 |
| 5 | 5 |
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞
猜想n≥2时，{cn}是递减数列
令f(x)=
| lnx |
| x |
则f′(x)=
| 1-lnx |
| x2 |
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由an+1=（cn）n+1（n∈N*），知lncn=
| ln(n+1) |
| n+1 |
∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为c2=
| 3 | 3 |
练习册系列答案
相关题目