Question

有人玩掷硬币跳跳棋的游戏，已知硬币正反面出现概率均为，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若掷正面棋子向前跳一站(从k到k＋1)；若掷出反面，棋子向前跳二站(从k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为．

(1)求的值；

(2)求及的值；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)棋子开始在第0站为必然事件， ∴．第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为， ∴，棋子跳到第2站应从如下两方面考虑： ①前二次掷硬币都出现正面，其概率为； ②第一次掷硬币都出现反面，其概率为． ∴． (2)棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种，而且也只有两种： ①棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为； ②棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为． ∴， ∴， ∴当1≤n≤99，数列是首项为，公比为的等比数列． ∴，，，…，． 以上各式相加，得 ， ∴，(n=0，1，2，…，99) ∴， ．