Question

已知函数f（x）=x²+|x-1|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）设g（x）=x³-ax（a＜0），若?x₁∈[1，2]，?x₂∈（2，3），使

f(x1)+1

x1

≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
（2）由于对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈（2，3），使

f(x1)+1

x1

≤g（x₂），等价于，

f(x1)+1

x1

的最大值不大于g（x₂）的最小值，即3≤8-2a，从而求解．

解答：解：（1）当x≥1时，x²+|x+1|≥1?x²+x-1≥1，
∴（x-1）（x+2）≥0，
解得x≥1或x≤-2，因此x≥1；
当x＜1时，x²+|x-1|≥1?x²-x≥0，解得x≥1或x≤0，因此x≤0，
∴不等式的解集是{x|x≥1或x≤0}．
（2）∵x₁∈[1，2]，∴f（x₁）=（x₁）²+x₁，∴

f(x1)+1

x1

=x1+1≤3，
∵g（x）=3x²-a（a＜0），∴g（x）单调递增，∴g（x₂）＞8-2a，
由于对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈（2，3），使

f(x1)+1

x1

≤g（x₂），等价于，

f(x1)+1

x1

的最大值不大于g（x₂）的最小值，即3≤8-2a，∴a≤

5

2

，
故a的取值范围是（-∞，

5

2

]．

点评：此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，运用了分类讨论的思想，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意仔细计算．