Question

设a_i∈R₊，x_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁²+a₂²+…a_n²=1，x₁²+x₂²+…x_n²=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是________．
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．

Answer 1

③⑤
分析：由题设中的条件对各个结论进行判断，其中①②可用同一方法判断，③⑤两结论分别与①②两结论对立，由①②的正误可判断③⑤的正误，④中包含①，且与⑤矛盾，易判断
解答：由题意a_i∈R₊，x_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁²+a₂²+…a_n²=1，x₁²+x₂²+…x_n²=1，对于的值中，
若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a₁²+a₂²+…a_n²大于1，这与已知矛盾，故①不对；
若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a₁²+a₂²+…a_n²小于1，这与已知矛盾，故②不对；
由于③与①两结论互否，故③对
④不可能成立，的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对
⑤与②两结论互否，故正确
综上③⑤两结论正确
故答案为③⑤
点评：本题考查分析法与综合法，解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含，结合题设条件对题设中所给的结论作出判断