Question

已知函数，（a为常实数）．
（1）若函数f（x）在区间（-1，1）内无极值，求实数a的取值范围；
（2）已知n∈N^*，求证：．

Answer 1

（1）解：求导函数，可得f'（x）=
∵函数f（x）在区间（-1，1）内无极值
∴f'（x）在（-1，1）恒大于0或恒小于0
∴或在区间（-1，1）内恒成立
∴a＞x+1或a＜x+1在区间（-1，1）内恒成立
∴a≥2或a≤0
（2）证明：令a=2，可得，当x∈N^*时，f（x）＜0
令x+1=，则
∴
∴ln（n+1）-lnn＞1-
n分别取1，2，…，n，叠加可得
分析：（1）求导函数，函数f（x）在区间（-1，1）内无极值，等价于f'（x）在（-1，1）恒大于0或恒小于0，从而可求实数a的取值范围；
（2）令a=2，可得，当x∈N^*时，f（x）＜0令x+1=，则，可得ln（n+1）-lnn＞1-，n分别取1，2，…，n，叠加即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，解题赋值是关键．