题目内容
已知函数f（x）=
（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述构造过程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x1=-1时，求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）当a=1时，
，所以，
．两边取倒数，得
，由等差数列定义求解．
（Ⅱ）构造出一个常数列，即：当x≠a时，方程f（x）=x有解，即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．由△=（1-a）2-4（1-a）≥0求解．
（Ⅲ）用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，即：
=a在R中无解．即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．则有
求解，有解则存在，无解则不存在．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=
，
所以，xn+1=
．
两边取倒数，得
-1，
即
=-1．又
=-1，
所以数列{
}是首项为-1，公差d=-1的等差数列．（3分）
故
=-1+（n-1）•（-1）=-n，
所以xn=-
，
即数列{xn}的通项公式为xn=-
，n∈N*．（4分）
（Ⅱ）根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，（5分）
即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
将x=a代入方程左边，左边为1，与右边不相等．
故方程不可能有解x=a．（7分）
由△=（1-a）2-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1．
即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）假设存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，那么根据题意可知，
=a在R中无解，（12分）
即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解，
因此
解得a=-1．
故a=-1即为所求a的值．（14分）
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了等差数列的定义，通项数列的存在性与方程有无根的关系．属中档题．
，所以，．两边取倒数，得，由等差数列定义求解．（Ⅱ）构造出一个常数列，即：当x≠a时，方程f（x）=x有解，即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．由△=（1-a）2-4（1-a）≥0求解．
（Ⅲ）用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，即：
=a在R中无解．即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．则有求解，有解则存在，无解则不存在．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=
，所以，xn+1=
．两边取倒数，得
-1，即
=-1．又=-1，所以数列{
}是首项为-1，公差d=-1的等差数列．（3分）故
=-1+（n-1）•（-1）=-n，所以xn=-
，即数列{xn}的通项公式为xn=-
，n∈N*．（4分）（Ⅱ）根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，（5分）
即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
将x=a代入方程左边，左边为1，与右边不相等．
故方程不可能有解x=a．（7分）
由△=（1-a）2-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1．
即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）假设存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，那么根据题意可知，
=a在R中无解，（12分）即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解，
因此
解得a=-1．故a=-1即为所求a的值．（14分）
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了等差数列的定义，通项数列的存在性与方程有无根的关系．属中档题．
练习册系列答案
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|