Question

在直角坐标平面内，定点F（-1，0）、F′（1，0），动点M，满足条件|

MF

|+|

MF′|

=2

2

．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的方程，并判定这个圆与直线x=-2的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题中条件：“|

MF

|+|

MF′|

=2

2

”易知M的轨迹是椭圆，结合椭圆的概念即可求得其方程；
（Ⅱ）分两种情形讨论：①当斜率存在时，设l：y=k（x+1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用以AB为直径的圆的方程得到圆心到直线x=-2的距离d＞R，所以圆于直线相离；当斜率不存在时，易得半径为

1

2

的圆与直线x=-2也相离，从而问题解决．

解答：解：（Ⅰ）易知M的轨迹是椭圆，c=1，a=

2

，b=1，方程为

x2

2

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）①当斜率存在时，设l：y=k（x+1），由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，消去y整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0；（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有

x1+x2=- 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

①（6分）
以AB为直径的圆的方程为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0；②（7分）
由①得y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂）+2k=

2k

1+2k2

，③y1y2=k2(x1+1)(x1+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1]=-

k2

1+2k2

；④（8分）
将①③④代入②化简得x2+y2+

4k2

1+2k2

x-

2k

1+2k2

y+

k2-2

1+2k2

=0，
即(x+

2k2

1+2k2

)2+(y-

k

1+2k2

)2=[

2 (1+k2)

1+2k2

]2．（10分）
对任意的k∈R，圆心(-

2k2

1+2k2

，

k

1+2k2

)到直线x=-2的距离是d=2-

2k2

1+2k2

=

2k2+2

1+2k2

，d-R=

2k2+2

1+2k2

-

2 (1+k2)

1+2k2

=

(2- 2 )(1+k2)

1+2k2

＞0，即d＞R，所以圆于直线相离．（12分）
当斜率不存在时，易得半径为

1

2

，圆的方程是(x-1)2+y2=

1

2

，与直线x=-2也相离．（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．