Question

已知点M是离心率是的椭圆C：（a＞b＞0）上一点，过点M作直线MA、MB交椭圆C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．
（I）若点A，B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（II）若点M的坐标为（0，1），且k₁+k₂=3，求证：直线AB过定点；并求直线AB的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，代入椭圆方程，设出A，B，M的坐标，把A，M代入椭圆方程，两式想减正好求得直线MA，MB的斜率之积结果为-
（II）根据点M的坐标，可求得b，设出直线AB的方程，代入椭圆方程根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据判别式求得t的范围，由k₁+k₂=3，求得A点横坐标和纵坐标的关系，把A点坐标代入直线求得A点横坐标和纵坐标的关系，然后联立求得t关于k的表达式，代入直线方程，根据直线AB过定点，进而把代入3k²+1＞t²中即可求得k的范围．
解答：解：（I）由得，a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x，y）
由A，M是椭圆上的点得，x₁²+3y₁²=3b²①x²+3y²=3b²②
①-②得，（定值）
（II）点M的坐标为（0，1），则b²=1，椭圆方程为x+3y²=3
显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程得，
（3k²+1）x²+6ktx+3（t²-1）=0

△=36k²t²-12（3k²+1）（t²-1）＞0，
化简得，3k²+1＞t²（*）
由k₁+k₂=3得，③，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t④，
由③，④得，（t-1）（x₁+x₂）+（2k-3）x₁x₂=0，
化简得，t=1（舍）或t=，
则直线AB的方程为
∴直线AB过定点
将．
∴直线AB的斜率k的取值范围为∪（0，3）∪（3，+∞）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．