Question

若函数y＝lg(3－4x＋x²)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2^x＋2－3×4^x的最值及相应的x的值．

Answer 1

解：y＝lg(3－4x＋x²)，∴3－4x＋x²＞0，

解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，

f(x)＝2^x＋2－3×4^x＝4×2^x－3×(2^x)².

令2^x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.

∴f(t)＝4t－3t²＝－3(t－)²＋(t＞8或0＜t＜2)．

由二次函数性质可知：当0＜t＜2时，f(t)∈(0，]，

当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，

当2^x＝t＝，即x＝log₂时，f(x)_max＝.

综上可知：当x＝log₂时，f(x)取到最大值为，无最小值．