Question

已知函数．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ） 求不等式f（x）＞0的解集；
（Ш） 讨论f（x）的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由y=得e^y=．…（1分）
xe^y-e^y=x+1，…（2分）
xe^y-x=e^y+1，即（e^y-1）x=e^y+1，…（3分）
∴x=（y≠0）．…（4分）
∴f^-1（x）=（x≠0）…（5分）
（Ⅱ）∵＞0，
∴x＜-1或x＞1．
所以，函数定义域为{x|x＜-1或x＞1}．…（6分）
根据题意，＞0，即＞ln1，…（7分）
∴＞1．即＞0，也就是=＞0，…（8分）
∴x＞1．…（9分）
所以，不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞1}．…（10分）
（Ш）解法一：
设t=，则y=lnt，x＜-1或x＞1．…（11分）
t===1+．…（12分）
t=向上平移1个单位得到t=+1，再向右平移1个单位得到t=，t=1+…（13分）
当x∈（-∞，-1）时，t是x的减函数，y是t的增函数； …（14分）
当x∈（1，+∞）时，t是x的减函数，y是t的增函数．…（15分）
所以，函数f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都是减函数．…（16分）
解法二：
设x₁，x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₁，…（11分）
则f（x₁）-f（x₂）=-=…（12分）
∵-1==…（13分）
∵1＜x₁＜x₁，x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0．
∴＞1．…（14分）
从而f（x₁）-f（x₂）=＞ln1=0．即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．…（15分）
同理，函数f（x）在（-∞，-1）上也是减函数．…（16分）
分析：（Ⅰ）由y=反解x=（y≠0），从而可求得f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ）f（x）=＞0?＞1（x|x＜-1或x＞1），解之即可．
（Ш）解法一：设t=，则y=lnt，（x＜-1或x＞1），利用坐标变换，作出变换的图象，数形结合即可判断其单调性；
解法二：利用单调性的定义，设x₁，x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₁，作差f（x₁）-f（x₂），判断即可．
点评：本题考查反函数，考查函数单调性的判断与证明，考查解不等式，考查综合分析与运算能力、逻辑思维能力、创新能力，属于难题．