题目内容
（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．
（Ⅰ）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
（Ⅰ）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ-2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．
（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
解答：
解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
+
P(700＜X≤900)=0.9772
（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．
由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距
最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆，B型车12辆．
解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．
由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
|
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距
| z |
| 2400 |
故应配备A型车5辆，B型车12辆．
点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
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2013年春运期间，长沙火车站在某大学开设了一个服务窗口。假设每一位顾客办理业务所需时间都是整数分钟,对这1000名顾客办理业务所需时间统计结果如下：
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办理业务所需时间（分钟） |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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人数 |
100 |
400 |
300 |
100 |
100 |
以记录的这1000名顾客办理业务所需时间的频率作为各所需时间发生的概率。
（1）求一位顾客办理业务时间不超过3分钟的概率；
（2）估计顾客办理业务所需时间的平均值。