Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的单调区间及极值；

（2）令，当时，不等式恒成立，

求实数的取值范围；

（3）令，记数列的前n项积为，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析；

【解析】

试题分析：（1）由题已知，可得函数解析式，求函数的单调区间和极值（注意定义域）。可先求函数的导数，令，为增区间，反之为减区间，再判断出极值。

（2）由题为在给定区间上的恒成立问题，即成立等价于，变量分离得；，然后构造函数，问题转化为求在的最小值，可求得的取值范围。

（3）为数列不等式的证明，由，联系所证明的结论，可两边取自然对数，再运用对应函数的单调性放缩，可得等差与等比商型数列，利用错位相减法可证得结论。

试题解析：（1）当时，

当时；当时＜0

∴当时，无极小值，

且函数的单调增区间为，单调减区间为；

（2）当时， 不等式恒成立等价于≥0

即：恒成立。令

当时， 则：

则实数a的取值范围

（3）由（1）得：当时，在区间单调递减，则：，

即：，

则：

记： ①

②

①－②得：

则：