Question

【题目】已知函数，。

（1）若在处和图象的切线平行，求的值；

（2）设函数，讨论函数零点的个数。

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，没有零点；时，有个零点；时，有个零点；时，有个零点；时，有个零点。

【解析】

试题分析：（1），，切线平行，即斜率相等，把零代入可计算得；（2）对分成三类进行分类讨论.当时，，在单增，，，故时，没有零点. 当时，显然有唯一的零点.当时，又分成三类进行讨论。

试题解析：

（1），，，由，得，所以，即。

（2）（1）当时，，在单增，，故时，没有零点。

（2）当时，显然有唯一的零点。

（3）当时，设，，令有，故在上单调递增，在上单调递减，所以，，即。，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，

（当且仅当等号成立），

∴有两个根（当时只有一个根），

在单增，令，，为减函数，故，∴，∴只有一个根。

∴时有3个零点；时有2个零点；时，有3个零点。综合以上讨论：时，没有零点；时有1个零点；时有3个零点；时有2个零点；时，有3个零点。