题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的焦点为F₁、F₂，M为双曲线上一点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且 $数学公式$ ，则双曲线的离心率

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

D
分析：根据F₁F₂为圆的直径，推断出∠F₁MF₂为直角，进而可推断出tan∠MF₁F₂= $\text{[math]}$ 求得|MF₁|的关系|MF₂|，设|MF₁|=t，|MF₂|=2t．根据双曲线的定义求得a，利用勾股定理求得c，则双曲线的离心率可得．
解答：∵F₁F₂为圆的直径
∴△MF₁F₂为直角三角形
∴tan∠MF₁F₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设|MF₁|=t，|MF₂|=2t
根据双曲线的定义可知a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t
4c²=t²+4t²=5t²，
∴c= $\text{[math]}$ t
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合思想的运用和基本的运算能力．

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(A) (B) (C) (D)

[番茄花园1]2.