Question

　　已知抛物线的焦点为F，准线为l，是否存在双曲线C，同时满足以下两个条件：

　　（1）双曲线C的一个焦点为F，相应于F的准线为l

　　（2）双曲线C上有A、B两点关于直线对称，且

　　若存在这样的双曲线，求出该双曲线C的方程；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：假设满足题意的双曲线C存在，并设其离心率为e，AB的中点坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为，．因为直线AB的斜率，且，所以由此解到或不失一般性，取，由于F（0，0）和l：x是对应的焦点和准线，所以＝ ，解到a＝-１，e＝2．故满足题意的双曲线C存在，其方程为，即　另解：由题意得：焦点F（0，0），准线l：x．设双曲线离心率为e，则由可得双曲线方程为：①设直线AB方程为：②，则由①②得③设AB中点为则有，由可解得则③式化为又由可得e＝2代入①即得