Question

设函数f(x)=(

1

2

)x，数列{a_n} 满足 a1=f(0)，f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）令 bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求 S_n与 T_n．

Answer 1

分析：（1）首先求出a1的值，然后根据f(an+1)=

1

f(-2-an)

，得出(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)an+2，进而得出a_n+1-a_n=2，从而确定数列{a_n} 是首项为1，公差为2的等差数列，即可求出通项公式；
（2）首先由（1）能够得出数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

4

的等比数列，然后根据等比数列的前n项和求出 S_n，再根据裂项的方法求出T_n．

解答：解：（1）∵f(x)=(

1

2

)x∴a1=f(0)=(

1

2

)0=1
又∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

∴(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)an+2
∴a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n} 是首项为1，公差为2的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1
∴

bn+1

bn

=

( 1 2 )2n+1

( 1 2 )2n-1

=

1

4

即数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

4

的等比数列
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]
Tn=

1

a1a2

+

1

a3a2

+…+

1

anan-1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[（1-

1

3

）+(

1

3

-

1

5

) +…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)（13分）

点评：本题考查了数列求和和等比数列的通项公式，对于等差数列和等比数列用公式即可求出前n项和，对于其他数列要根据数列的特点采取不同的方法求前n项和，属于中档题．