Question

已知函数f(x)=

4cos4x-2cos2x-1

tan( π 4 +x)sin2( π 4 -x)

，
（1）求f(-

17π

12

)的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求g(x)=

1

2

f(x)+sin2x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简整理，然后把x=-

7π

12

代入即可求得答案．
（2）把（1）中f（x）的解析式代入g（x），利用二倍角公式化简在整理求得g（x）的解析式，然后根据x的范围确定2x+

π

4

的范围，进而利用正弦函数的单调性求得答案．

解答：解：f(x)=

4cos4x-2cos2x-1

tan( π 4 +x)sin2( π 4 -x)

=

4( 1+cos2x 2 )2-2cos2x-1

tan( π 4 +x)cos2( π 4 +x)

=

cos22x

tan( π 4 +x)sin( π 4 +x)

=2cos2x．
（1）f(-

17π

12

)=2cos

17π

6

=2cos

5π

6

=-

3

．
（2）g（x）=

1

2

f（x）+sin2x=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
因为x∈[0，

π

2

]，所以

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

．
因此g(x)max=

2

，g（x）_min=-1．

点评：本题主要考查了三角函数的最值问题，运用二倍角公式，诱导公式和两角和公式化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的把握．