Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a²-（b-c）²，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于

64

．

Answer 1

分析：把已知的等式左边的S利用三角形的面积公式变形，右边利用完全平方公式化简，同时利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，整理后代入到化简后的等式中，根据bc不为0，两边同时除以bc后变形，并利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，求出tan

A

2

的值，进而利用万能公式求出sinA的值，由三角形的外接圆周长求出外接圆直径，利用正弦定理求出a的值，根据基本不等式得出bc取得最大值时b=c，代入S=a²-（b-c）²，得到S=a²，把a的值代入求出的值即为三角形面积的最大值．

解答：解：∵S=a²-（b-c）²，S=

1

2

bcsinA，
且根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，
∴

1

2

bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA，
∴

1

2

sinA=2-2cosA，
即

1

4

=

1-cosA

sinA

=

1-(1-2sin2 A 2 )

2sin A 2 cos A 2

=

2sin2 A 2

2sin A 2 cos A 2

=tan

A

2

，
∴sinA=

2tan A 2

1+tan2 A 2

=

8

17

，
又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，
根据正弦定理

a

sinA

=2R，可得a=2RsinA=17×

8

17

=8，
∵bc≤(

b+c

2

)2，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，
则此时面积S的最大值为a²-（b-c）²=a²=64．
故答案为：64

点评：此题考查了三角形的面积公式，正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及基本不等式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．