Question

10．已知sinα-cosα=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜α$＜\frac{7π}{4}$
（1）求sinαcosα、sinα+cosα的值；
（2）求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值；
（3）求$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判断sinα＜cosα，sinα+cosα＜0，再利用同角三角函数的基本关系求得sinαcosα、sinα+cosα的值．
（2）先利用二倍角公式求得sin2α、cos2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．
（3）把要求的式子化为$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$，从而得到结果．

解答 解：（1）∵sinα-cosα=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜α$＜\frac{7π}{4}$，
∴sinα＜cosα，sinα+cosα＜0，
平方可得 1-2sinαcosα=$\frac{18}{25}$，
∴sinαcosα=$\frac{7}{50}$，∴α∈（$\frac{17π}{12}$，$\frac{3π}{2}$），
sinα+cosα=-$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=-$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}+4sinαcosα}$=-$\sqrt{\frac{18}{25}+4•\frac{7}{50}}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
（2）由于sin2α=2sinαcosα=$\frac{7}{25}$，
cos2α=-（sinα+cosα ）•（sinα-cosα ）=-（-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$）•（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$）=-$\frac{24}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{7}{25}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{24}{25}$）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
（3）$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinα•cosα•cosα+{2sin}^{2}α•cosα}{cosα-sinα}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$=$\frac{\frac{7}{25}•（-\frac{4\sqrt{2}}{5}）}{\frac{3\sqrt{2}}{5}}$=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题．