Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACM；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连结BD交AC于O点，则O为BD中点，由三角形中位线的性质可得OM∥PB．再根据直线和平面平行的判定定理，证得PB∥平面ACM．
（2）建立如图所示直角坐标系，求出

CD

和平面ACM的一个法向量

n

的坐标，设所求角为α，则由sinα=|

CD • n

| CD |•| n |

|求得结果．

解答：解：（1）连结BD交AC于O点，则O为BD中点．
∵点M是PD中点，∴OM∥PB．
再根据OM?平面ACM，PB?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）建立如图所示直角坐标系，则A（0，0，0），
P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）．∴

CD

=(-2，0，0)，

AM

=(0，2，2)，

AC

=(2，4，0)，
设平面ACM的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

2x+4y=0 2y+2z=0

，令z=1，则

n

=(2，-1，1)．
设所求角为α，则sinα=|

CD • n

| CD |•| n |

|=

6

3

，
即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为

6

3

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，用向量法求直线和平面所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题．