Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，∠F₁PF₂=60°，设
（I）当λ=2时，求椭圆离心率e；
（II）当椭圆离心率最小时，PQ为过椭圆右焦点F₂的弦，且|PQ|=，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，|PF₁|+|PF₂|=2a，知，|PF₂|=，再由cos∠F₁PF₂==，能够推导出椭圆离心率e．
（II）由题设知，故，再由cos∠F₁PF₂==，知，由此结合|PQ|=，能够求出椭圆的方程．
解答：（I）解：，∴|PF₁|=2|PF₂|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴，|PF₂|=，
cos∠F₁PF₂==，
∴，∴，∴．
（II）解：⇒，
cos∠F₁PF₂==，
∴，∴，∴．
取等号时，，
∴p（0，b），，∴，
∴5x²-8cx=0，∴，
，
∴c=1，∴．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．