Question

【题目】已知函数是R上的偶函数，其中e是自然对数的底数．

（1）求实数的值；

（2）探究函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）若函数有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析； （3）.

【解析】

（1）根据偶函数的定义得到在R上恒成立，可得；（2）由（1）得在上单调递增，然后根据单调性的定义进行证明即可；（3）

由条件得，设，则问题转化为方程在区间上有实数根，然后根据方程根的分布的知识求解即可得到所求范围．

（1）∵函数是偶函数，

∴，即，

整理得在R上恒成立，

∴．

（2）函数在上单调递增．证明如下：

当时，．

设，

则

，

∵，

∴，即，

∴，

∴，

∴函数在上单调递增．

（3）由题意得

．

令，当且仅当时等号成立，

且，

∵函数有零点，

∴函数在上有零点．

①当在上只有一个零点时，

则，即，

解得；

②当在上有两个零点时，

则，即，

解得．

综上可得．

∴当函数有零点时，实数的取值范围为．