Question

抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线

x2

3

-

y2

6

=1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）求弦长|AB|；
（2）求弦AB中点到抛物线准线的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意可得F（3，0），从而可得抛物线的方程，及过点P得直线方程，联立方程

y=x-2 y2=12x

可得x²-16x+4=0
AB=

2[(x1+x2)2-4x1x2 ]

，根据方程的根与系数的关系代入即可求解
（2）设AB得中点为M（x₀，y₀），分别过点AMB做准线的垂线，垂足分别为A′，M′，B′，由梯形得性质可得，MM′=

1

2

(AA′+BB′)=（x₁+3+x₂+3）×

1

2

，结合（1）可求

解答：解：（1）由题意可得双曲线的右焦点（3，0），故F（3，0）
∴抛物线的方程为y²=12x，过点P得直线方程为y=x-2
联立方程

y=x-2 y2=12x

可得x²-16x+4=0设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=16，x₁x₂=4
AB=

2[(x1+x2)2-4x1x2 ]

=

2(256-16)

=4

30

（2）设AB得中点为M（x₀，y₀）
分别过点AMB做准线的垂线，垂足分别为A′，M′，B′，
则由梯形得性质可得，MM′=

1

2

(AA′+BB′)=（x₁+3+x₂+3）×

1

2

=

1

2

× 22=11

点评：本题考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，关键是看清题中给出的条件，灵活运用方程的根与系数的关系及弦长公式AB=

2[(x1+x2)2-4x1x2 ]

进行求解．