Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y=x-4相交于不同的两点A、B，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），利用P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，根据抛物线的定义，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），证明

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答：（Ⅰ）解：由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），其准线方程为x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+

p

2

=5，∴∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由

y2=4x y=x-4

消去x得y²-4y-16=0，
∴y₁y₂=-16，∴x₁x₂=

y12

4

•

y22

4

=16，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OA

⊥

OB

，
∴OA⊥OB．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理、向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．