题目内容
如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD为长方体的下底面，两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB为x．
（Ⅰ）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm、50cm、40cm、则硬纸板PQST的长、宽应为多大？
（Ⅱ）若硬纸板PQST的长PT=240cm，宽TS=150cm，按此设计，当纸箱的长AB为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积．
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（Ⅰ）由题意：PQ=AB+2H1A=80+2×40=160（cm），
PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180（cm）． …………………………4分
（Ⅱ）∵PT=240，PQ=150，AB为x（0＜x＜150），
∴AH=AH1=（TS－AB）=（150－x）．
∵AD= M1H+EM，AH=DE，
∴AD=（MM1－2AH）=（PT－2AH）=[240－（150－x）]=45+x， ……………7分
∴纸箱体积V（x）= x（150－x）（45+x）=－ x3+15 x2+3375x． …………………8分
V′(x)=－ x2+30 x+3375．
令V′(x)=0，x2－40x－4500=0，解得：x1=90，x2=－50（不合题意，舍去）．………10分
当x∈（0，90）时，V′(x)＞0，V（x）是增函数；
当x∈（90，150）时，V′(x)＜0，V（x）是减函数，
∴当x=90时，V（x）取到极大值V（90）=243000． …………………12分
∵V（x）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值．
∴当纸箱的长AB=90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm3）．………………14分
