Question

口袋里有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次取出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球．
（1）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；
（2）设第n次由甲摸球的概率为a_n，试建立a_n与a_n-1（n≥2）的递推关系．

Answer 1

分析：（1）记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

，且A，B相互独立．依据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，先分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），再求Eξ．
（2）根据摸球规则可知，第n次由甲摸秋包括如下两个事件：①第n-1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为an-1×

1

3

；②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为(1-an-1)×

2

3

．由此能建立a_n与a_n-1（n≥2）的递推关系．

解答：解（1）：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B
则P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

，且A，B相互独立
依据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
且P(ξ=0)=P(

.

A

•B)+P(

.

A

.

•B

•

.

A

)=

2

3

×

1

3

+(

2

3

)3=

14

27

，P(ξ=1)=P(A•

.

A

)+P(

.

A

.

•B

•A)=

1

3

×

2

3

+

1

3

×(

2

3

)2=

10

27

，
P(ξ=2)=P(A•A•

.

A

)=(

1

3

)2×

2

3

，
P(ξ=3)=P(A•A•A)=(

1

3

)3=

1

27

∴Eξ=0×

14

27

+1×

10

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

17

27

…（8分）
（2）根据摸球规则可知，第n次由甲摸秋包括如下两个事件：
①第n-1次由甲摸球，且摸出红球，
其发生的概率为an-1×

1

3

；
②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，
其发生的概率为(1-an-1)×

2

3

，
∵上述两个事件互斥，
∴an=

1

3

an-1+

2

3

(1-an-1)，
即an=-

1

3

an-1+

2

3

(n≥2)…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．