Question

已知向量

OA

=(2， 0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)，动点M（x，y）到直线y=1的距离等于d，并且满足

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)（其中O是坐标原点，k∈R）．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）当k=

1

2

时，求|

OM

+2

AM

|的取值范围．

Answer 1

（1）∵O为原点，且

OA

=(2，  0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)
∴A（2，0），B（2，1），C（0，1）（1分）
∴

OM

=(x，y)，  

AM

=(x-2，y)，  

BM

=(x-2，y-1)，

CM

=(x，y-1)，d= |y-1|（2分）
又

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)
∴x（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]?x²-2x+y²=k（x²-2x）?（1-k）x²+2（k-1）x+y²=0（5分）
1）当k=1时，y=0，动点轨迹是一条直线；
2）当k≠1时，(x-1)2+

y2

1-k

=14）
①若1-k=1?k=0时，（x-1）²+y²=1动点轨迹是一个圆；
②若

1-k＞0 1-k≠0

?k＜1 且 k≠0时，动点轨迹是椭圆；
③若1-k＜0?k＞1时，动点轨迹是双曲线．（9分）
（2）当k=

1

2

时，M轨迹方程为（x-1）²+2y²=1
∴y2=

1

2

-

1

2

(x-1)2（10分）
∴t= |

OM

+2

AM

| = |(x，y)+2(x-2，y)| = |(3x-4，  3y)|=

(3x-4)2+9y2

=

(3x-4)2+9 [ 1 2 - 1 2 (x-1)2]

=

9 2 (x- 5 3 )2+ 7 2

（12分）
又（x-1）²+2y²=1?（x-1）²≤1?0≤x≤2
∴当 x=

5

3

时，tmin=

7 2

=

14

2

当 x=0时，t_max=4
∴|

OM

+2

AM

|的取值范围是[

14

2

，4]．（14分）