Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当a=-1时，可得|x-1|+|x+1|≥3，分①当x≤-1时，②当-1＜x＜1时，③当x≥1时，分别求出解集，再取并集即得
所求．
（Ⅱ）由题意可得 f（x）_min≤2，由绝对值的意义可得f（x）_min=|a-1|，故有|a-1|≤2，由此求得a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|． 由f（x）≥3得，|x-1|+|x+1|≥3．
①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3，即．
所以，原不等式的解为．（1分）
②当-1＜x＜1时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3．
所以，原不等式无解．（2分）
③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3，即．
所以，原不等式的解为．（3分）
综上，原不等式的解为．（4分）
（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2．（5分）
因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，
所以，f（x）_min=|a-1|．（6分）  
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范围为[-1，3]．（7分）
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．